Exemple de fermé borné non compact

Chaque espace topologique X est un sous-espace dense ouvert d`un espace compact ayant au plus un point plus de X, par la compactification d`un point d`Alexandroff. Dans $ mathbb{R} ^ n $ et $ mathbb{C} ^ n $ un ensemble est compact si et seulement s`il est fermé et délimité. Il est fermé parce que n`importe quel point à l`extérieur il est contenu dans une petite boule ouverte disjoint de la première, par l`inégalité de triangle. C`est un genre particulier de petit, mais à son cœur, la compacité est une façon précise d`être petit dans le monde mathématique. Le point culminant de leurs investigations, le théorème d`Arzelà-Ascoli, était une généralisation du théorème de Bolzano – Weierstrass aux familles de fonctions continues, dont la conclusion précise était qu`il était possible d`extraire une séquence uniformément convergente de fonctions d`une famille de fonctions appropriée. Diverses définitions de la compacité peuvent s`appliquer, selon le niveau de généralité. C`est-à-dire, si $ lVert y rVert = 1 + 2 delta, $ Then les jeux $ lVert x rVert leqslant $1 et $ lVert x-y rVert < delta $ sont disjoints. C`est cette notion de compacité qui est devenue la plus dominante, parce que ce n`était pas seulement une propriété plus forte, mais elle pourrait être formulée dans un cadre plus général avec un minimum de machines techniques supplémentaires, car elle ne reposait que sur la structure des ensembles ouverts dans un espace . Bien sûr, la collection de tous les intervalles ouverts dans la ligne de nombre contient un diable de beaucoup d`intervalles! Pour en savoir plus sur les jeux ouverts, consultez mon post changez vos sets ouverts, changez votre vie.

Classer les surfaces non compactes est plus difficile et moins satisfaisant. Une telle généralisation est qu`un espace topologique est séquentiellement compact si chaque séquence infinie de points échantillonnés à partir de l`espace a une suite infinie qui converge vers un certain point de l`espace. En particulier, l`ordre des points 0, 1, 2, 3,… n`a pas de sous-séquence qui converge vers un nombre réel. Ainsi, la ligne de nombre n`est pas compacte parce que nous avons trouvé une couverture ouverte qui n`a pas un sous-couvert fini. Par exemple, certains des nombres 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7,… s`accumulent à 0 (d`autres s`accumulent à 1). Cette notion plus subtile, introduite par Pavel Alexandrov et Pavel Oursohn en 1929, présente des espaces compacts comme généralisations d`ensembles finis.

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